ESTATÍSTICA DE EXTREMOS: ESTIMAÇÃO DOS ÍNDICES EXTREMAL E DE CAUDA

 

  • Prof. Cristina Souto Miranda – Instituto Superior Contabilidade e Administração – Universidade de Aveiro
  • FCUL (DEIO) – Campo Grande – Bloco C/6 – Piso 4 – Sala 6.4.30 -14:30
  • Quarta-feira, 16 de Novembro de 2005
 
O tema deste seminário insere-se na Teoria de Valores Extremos, em particular, na estimação dos parâmetros que caracterizam a cauda da distribuição subjacente a um conjunto de dados estacionários. Nesse contexto, para além do parâmetro fundamental em Estatística de Extremos, o chamado índice de cauda, surge um parâmetro adicional, o índice extremal. Começamos por fazer uma revisão ligeira da Teoria de Valores Extremos clássica, e apresentamos em seguida, as principais condições de dependência local e assintótica, o teorema dos tipos extremais para sucessões dependentes e o conceito de índice extremal. Apresentamos uma resenha dos estimadores existentes para o índice extremal, com especial relevo para o estimador dos “runs”, estudado mais detalhadamente para modelos dependentes específicos. Somos então conduzidos a uma classe vasta de processos, para os quais se pode garantir a existência de um índice extremal. Para esses processos o estimador dos “runs” tem um viés com dois termos dominantes, de ordens eventualmente diferentes. Somos pois levados à consideração de um novo estimador do índice extremal, um estimador de Jackknife Generalizado de ordem 2. Esse estimador, uma combinação afim de estimadores dos “runs” em três níveis diferentes, foi estudado através da utilização de técnicas de Monte Carlo. Uma das características interessantes deste estimador é a estabilidade da sua trajetória em torno do valor alvo, com uma função de erro médio quadrático, também estável. Abordamos ainda a possível utilização de técnicas de sub-amostragem, e derivamos o comportamento de um novo estimador do índice extremal, baseado na comparação entre a amostra dependente original e uma amostra “bootstrap” proveniente do mesmo modelo. Apresentamos uma classe de estimadores do índice de cauda, que generaliza o estimador de Hill. Procedemos a uma comparação assintótica dos diferentes estimadores dessa classe, calculados nos respetivos níveis ótimos, e como não foi conseguida melhoria significativa, relativamente ao estimador de Hill, procedemos à utilização da metodologia de Jackknife Generalizado, que nos permitiu a construção de uma nova classe de estimadores do índice de cauda. A comparação destes estimadores é feita assintoticamente, e através da utilização de técnicas de Monte Carlo. A finalizar procedemos ao estudo de estimadores do índice de cauda, em situações de mistura forte e fraca. Estudamos o comportamento do estimador de Hill para processos dependentes específicos e propomos uma demonstração alternativa da consistência do estimador de Hill, sob a validade da condição de mistura forte. Abordamos ainda o comportamento assintótico do estimador de Hill para modelos de variáveis inteiras, modelos com grande aplicação em Economia e Finanças. Finalmente, avaliamos a robustez de um conjunto de estimadores do índice de cauda, face à não verificação da hipótese de independência, através da consideração de processos dependentes, considerados adequados para o efeito Palavras chave: caudas pesadas, variação regular, Jackknife, sucessão estacionária, agrupamentos de excedências, dependência, estimador de Hill, índice extremal.